Kubische Kurven die eine Ueberschneidung zulassen
Pierre Bèzier Bézier-Kurven
Die kubische Bezier-Kurve ist grundsätzlich das wichtigste grafische Element, weil fast alle Formen und Zeichenumrisse aus Bezier-Segmenten zusammengesetzt werden können. Betrachten Sie die nebenstehende Abbildung einer Bezier-Kurve.
Die Gestalt einer kubischen Bezier-Kurve wird durch den Start- und Endpunkt (Punkt 0 bzw. 3) und durch die Bezier-Kontrollpunkte (BCP) ausserhalb der Kurve (Punkte 1 und 2) bestimmt.
Pierre Bézier beschreibt die nach ihm benannte Kurve mit folgender kubischen Formel:
X(u) = x0 (1-u)hoch3 + x1 3u (1-u)hoch2 + x2 3uhoch2 (1-u) + x3 uhoch3
Y(u) = y0 (1-u)hoch3 + y1 3u (1-u)hoch2 + y2 3uhoch2 (1-u) + y3 uhoch3
Dabei sind (x0,y0): Startpunkt; (x1,y1), (x2,y2): zwei Bezier-Kontrollpunkte (BCP's) ausserhalb der Kurve; und (x3,y3): Endpunkt der Kurve. Der Wert 0>=u>=1 ist der Parameter der Darstellung und wird entlang der Kurve ständig etwas erhöht.Die meisten grafischen Formen und Schriftzeichen werden mit Bezier-Kurven beschrieben -- ausser man hat es ausschliesslich mit geraden Strichen und Rechtecken zu tun.
Näheres dazu in: Foley et al.: Computer Graphics, Addison-Wesley 1990
Bearbeiten Sie die Bezier-Kurvenpunkte und Kurvensteuerungspunkte mit der Maus!
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Das Vektorgrafik-Programm konstruiert eine geglättete Kurve; die Kurve geht vom Punkt "0" zum Punkt "3", die Bezier-Kontrollpunkte (BCP) sind mit "1" und "2" markiert.
Eine Bezier-Kurve ist eine kubische Kurve, die jedoch eine Ueberschneidung zulässt. Die im obigen Beispiel gestrichelten Geraden von Punkt 0 nach Punkt 1 sowie von Punkt 2 nach Punkt 3 bilden Tangenten durch Anfangs- bzw. Endpunkt der Bezier-Kurve. Das Polygon, welches durch die vier Punkte gebildet wird, schliesst immer die Bezier-Kurve vollständig ein (rubberband).
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