"Vektoren" und "Pfade": Alles "Bèzier" Kurven!

Was sind Bèzier Kurven?
Kubische Kurven die eine Überschneidung zulassen

Pierre Bèzier
entwarf in den 60er Jahren für Renault schwungvolle Automobil-Karosserien auf dem Großrechner und entwickelte zu diesem Zweck ein System der Kurvenbeschreibung, dass zur Grundlage aller Vektorgrafikprogramme wurde. Insbesondere arbeiten Adobe Illustrator, Freehand, Corel Draw und AutoCAD mit
Bèzier Kurven.
Pierre Bèzier

Bézier-Kurven

Die kubische Bezier-Kurve ist grundsätzlich das wichtigste grafische Element, weil fast alle Formen und Zeichenumrisse aus Bezier-Segmenten zusammengesetzt werden können. Betrachten Sie die nebenstehende Abbildung einer Bezier-Kurve.

Die Gestalt einer kubischen Bezier-Kurve wird durch den Start- und Endpunkt (Punkt 0 bzw. 3) und durch die Bezier-Kontrollpunkte (BCP) außerhalb der Kurve (Punkte 1 und 2) bestimmt.

Pierre Bézier beschreibt die nach ihm benannte Kurve mit folgender kubischen Formel:

X(u) = x0 (1-u)hoch3 + x1 3u (1-u)hoch2 + x2 3uhoch2 (1-u) + x3 uhoch3

Y(u) = y0 (1-u)hoch3 + y1 3u (1-u)hoch2 + y2 3uhoch2 (1-u) + y3 uhoch3

Dabei sind (x0,y0): Startpunkt; (x1,y1), (x2,y2): zwei Bezier-Kontrollpunkte (BCP's) außerhalb der Kurve; und (x3,y3): Endpunkt der Kurve. Der Wert 0>=u>=1 ist der Parameter der Darstellung und wird entlang der Kurve ständig etwas erhöht.

Die meisten grafischen Formen und Schriftzeichen werden mit Bezier-Kurven beschrieben -- außer man hat es ausschließlich mit geraden Strichen und Rechtecken zu tun.

Näheres dazu in: Foley et al.: Computer Graphics, Addison-Wesley 1990

Bearbeiten Sie die Bezier-Kurvenpunkte und Kurvensteuerungspunkte mit der Maus!

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Vektor Grafik Seminar

Das Vektorgrafik-Programm konstruiert eine geglättete Kurve; die Kurve geht vom Punkt "0" zum Punkt "3", die Bezier-Kontrollpunkte (BCP) sind mit "1" und "2" markiert.

Eine Bezier-Kurve ist eine kubische Kurve, die jedoch eine Überschneidung zulässt. Die im obigen Beispiel gestrichelten Geraden von Punkt 0 nach Punkt 1 sowie von Punkt 2 nach Punkt 3 bilden Tangenten durch Anfangs- bzw. Endpunkt der Bezier-Kurve. Das Polygon, welches durch die vier Punkte gebildet wird, schließt immer die Bezier-Kurve vollständig ein (Räuberbande).

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